Hilbertin hotelli

Matematiikan historiassa on paljon outoja olentoja: paradokseja, äärettömiä sarjoja, kummallisia funktioita ja järkeä uhmaavia todistuksia.
Mutta mikään niistä ei ole yhtä leikkisä, yllättävä ja filosofisesti pureva kuin Hilbertin hotelli.

Se on paikka, jossa logiikka käyttäytyy kuin lasten satu, mutta samalla paljastaa jotakin syvän todellista siitä, mitä äärettömyys oikeastaan merkitsee.

Tämän hotellin ovet eivät koskaan sulkeudu.
Sen huoneet eivät koskaan lopu.
Eikä se koskaan, absoluuttisesti koskaan, ole täynnä.

Tervetuloa sisään.

Mikä on Hilbertin hotelli?

Ajatuskoe syntyi 1900-luvun alussa, kun saksalainen matemaatikko David Hilbert päätti havainnollistaa, miten hämmentävä äärettömyyden käsite todella on.

Kuvittele hotelli, jossa on:

• äärettömän monta huonetta: 1, 2, 3, 4, 5, …

• jokainen huone on varattu

• hotelli on siis täynnä

Tähän asti kaikki näyttää tavalliselta.
Kun hotelli on täynnä, se on täynnä — eikö niin?

Ei Hilbertin maailmassa.

Vaikka hotelli on täynnä, sinne mahtuu lisää

Eräänä iltana hotellin ovelle koputtaa uusi vieras.
Vastaanottovirkailija miettii hetken ja sanoo:

“Tervetuloa! Tietenkin meillä on tilaa!”

Mutta miten?
Kaikki huoneet ovat jo varattuja.

Ratkaisu:

• siirrä huoneen 1 asukas huoneeseen 2

• siirrä huoneen 2 asukas huoneeseen 3

• siirrä huoneen 3 asukas huoneeseen 4

• … ja niin edelleen äärettömyyteen

Huone 1 vapautuu.

Yksi uusi vieras mahtuu hotelliin, vaikka se oli “täynnä”.

Tämä on äärettömyyden ensimmäinen temppu:
“Täysi” ei tarkoita samaa asiaa äärettömässä kuin äärellisessä.

Mitä jos saapuu äärettömästi uusia vieraita?

Eräänä yönä hotellin eteen kaartaa bussi, jossa on äärettömän monta uutta matkustajaa.

Normaalisti tämä tarkoittaisi kaaosta.
Mutta Hilbertin hotellin virkailija vain hymyilee.

Ratkaisu:

• siirrä huoneen 1 asukas huoneeseen 2

• siirrä huoneen 2 asukas huoneeseen 4

• siirrä huoneen 3 asukas huoneeseen 6

• siirrä huoneen 4 asukas huoneeseen 8

• … kaikki nykyiset asukkaat siirretään parillisiin huoneisiin

Kaikki parittomat huoneet 1, 3, 5, 7, 9, … vapautuvat.
Niitäkin on äärettömän monta.

Ja näin hotelliin mahtuu äärettömästi uusia vieraita.

Tämä on äärettömyyden toinen temppu:
Ääretön + ääretön = ääretön.

Mutta se ei ole koko totuus.

Äärettömyydet eivät ole yhtä suuria

Hilbertin hotelli paljastaa jotain syvempää:

Kaikki äärettömyydet eivät ole saman suuruisia.

Esimerkiksi:

• luonnollisten lukujen joukko: 1,2,3,4,…

• parilliset luvut: 2,4,6,8,…

Molemmissa on äärettömästi alkioita —
mutta ne ovat yhtä suuria äärettömyyksiä, koska niihin voidaan tehdä vastaavuus (bijektio).

Hilbertin hotelli konkretisoi tämän:

• äärettömästi asukkaita

• äärettömästi uusia vieraita

• silti hotelliin mahtuu kaikki

Hilbertin hotelli käyttäytyy kuin ääretön kumi, jota voi venyttää loputtomasti ilman että se repeää.

Miksi tämä tuntuu väärältä?

Me elämme maailmassa, jossa:

• jos auto on täynnä → se on täynnä

• jos elokuvateatteri on täynnä → sinne ei mahdu

• jos pankkitilillä on 0 € → et voi nostaa rahaa

Ääretön hotelli rikkoo tämän kaiken.

Se pakottaa meidät hyväksymään kolme intuitiomme vastaista totuutta:

✔ 1. Ääretön ei käyttäydy kuten äärellinen

Äärettömän käsittely on matematiikan sisäinen kieli, ei arjen.

✔ 2. “Täysi” ja “tyhjä” eivät ole absoluuttisia

Ääretön voi olla täynnä ja silti loputtoman laajennettavissa.

✔ 3. Logiikka on tärkeämpi kuin tunne

Intuitio sanoo: “Tämä ei ole mahdollista.”
Matematiikka vastaa: “On.”

Ja kuten Monty Hall -ongelmassa, totuus ei taivu tunteisiin.

Mitä Hilbertin hotelli opettaa meille oikeasti?

Hilbert ei halunnut rakentaa vain abstraktia matematiikkaleikkiä.
Hän halusi näyttää:

1. Äärettömyys on monimutkainen ja kaunis rakenne

Se ei ole vain “loputtomasti iso”.
Se sisältää tasoja, järjestyksiä ja hierarkioita.

2. Ihmisen intuitio on huono äärettömyyden arvioimisessa

Meidät on luotu ymmärtämään kiviä, puita ja soppakulhoja.
Ei ääretöntä avaruutta.

3. Matematiikka voi olla leikkisää

Hilbertin hotelli on melkein lasten satu.
Mutta samalla se on yksi syvimmistä oivalluksista äärettömyydestä.

4. Ajatukset, jotka vaikuttavat järjettömiltä, voivat silti olla totta

Hilbert haastaa rajan “mahdollisen” ja “mahdottoman” välillä.

Hilbertin hotelli ja identiteetti

On kiinnostavaa, että Hilbertin hotelli liittyy myös filosofiaan.

Jos hotelli voi olla ääretön, mitä se kertoo:

• maailmankaikkeudesta?

• ajasta?

• numeroinnista?

• identiteetistä?

• siitä, mikä on “enemmän kuin toinen”?

Olennaista on tämä:

Äärettömyys ei ole yksi asia. Se on maailma.
Hilbertin hotelli avaa meille sen maailman oven.

Loppupohdinta – miksi Hilbertin hotelli jää mieleen

Hilbertin hotelli on paradoksi, joka saa meidät nauramaan ja hämmentymään yhtä aikaa.
Se muistuttaa siitä, miten rajallinen ihmisen ajattelu on — ja miten suuri matematiikan maailma voi olla.

Kun astumme Hilbertin hotelliin, astumme tilaan, jossa:

• huoneet eivät lopu

• tilanne ei koskaan ole toivoton

• ääretön ei ole este, vaan mahdollisuus

Se on maailma, jossa mahdoton muuttuu mahdolliseksi.

Se on maailma, joka sanoo:

“Tervetuloa sisään.
Huoneita riittää.”