Meillä ihmisillä on kummallinen taipumus luottaa intuitioomme silloinkin, kun se valehtelee meille päin naamaa. Onneksi matematiikka on olemassa muistuttamassa, ettei inhimillinen maalaisjärki ole kovin luotettava, kun puhutaan todennäköisyyksistä tai isoista joukoista.
Syntymäpäiväparadoksi on täydellinen esimerkki tästä.
Se on pulma, joka näyttää yksinkertaiselta, mutta joka paljastaa syvällä tasolla jotakin ihmismielen vinoumistamme.
Mikä on syntymäpäiväongelma?
Ongelma kuuluu näin:
Kuinka monen satunnaisesti valitun ihmisen joukossa on vähintään kaksi henkilöä, joilla on sama syntymäpäivä?
Useimmat ihmiset vastaavat noin:
-
”Hmm… ehkä joku 150?”
-
”Varmaan ainakin 50?”
-
”Ehkä yli 100?”
Mutta matematiikan vastaus on jäätävä:
🎉 Kun ryhmässä on 23 henkilöä, todennäköisyys kahdella samalla syntymäpäivällä on jo yli 50 %.
Ja kun ryhmässä on 70 henkilöä:
🎉 Todennäköisyys nousee lähes 100 prosenttiin.
Ei tunnu intuitiivisesti oikealta.
Juuri siksi tätä kutsutaan paradoksiksi.
Miksi tämä tuntuu niin väärältä?
Koska me ajattelemme kysymystä väärin.
Kun me mietimme ”jollakin on sama syntymäpäivä kuin minulla”, ajattelemme yhtä paria: minua ja jotain muuta.
Mutta syntymäpäiväparadoksi kysyy:
Onko KENELLÄ TAHANSA ryhmän jäsenistä sama syntymäpäivä kuin jollain toisella?
Se tarkoittaa parivertailua kaikkien välillä.
Ryhmässä on:
-
23 henkilöä
-
jokainen henkilö muodostaa parin jokaisen muun kanssa
-
pareja on 253
Ja kun pareja on noin paljon, todennäköisyys osumalle kasvaa nopeasti.
Emme vain hahmota sitä intuitiivisesti.
Miten paradoksi lasketaan?
Teoreettinen lasku toimii näin:
Tarkastellaan vastatapahtumaa:
”Kaikilla on ERI syntymäpäivä.”
Jos luokassa on:
-
Ensimmäinen ihminen → voi olla mikä päivä tahansa → 365/365
-
Toinen ihminen → ei saa osua samaan → 364/365
-
Kolmas → 363/365
-
Neljäs → 362/365
-
ja niin edelleen…
Kun kerrotaan nämä todennäköisyydet keskenään 23 henkilölle, saadaan:
≈ 49 %
että kaikilla on eri syntymäpäivä.
Siksi:
≈ 51 %
että jollakin on sama syntymäpäivä kuin jollakin toisella.
Mitä syntymäpäiväparadoksi kertoo ihmismielestä?
Syntymäpäiväparadoksin hienous ei ole matematiikassa (vaikka sekin on kaunista).
Sen ydin on psykologinen.
Se paljastaa kolme suurta ajatteluvinoumaa:
1. Alitajuinen yksilökeskeisyys
Ihminen ajattelee aina itsensä kautta:
-
“Kenen kanssa MINULLA on sama syntymäpäivä?”
Mutta tehtävä kysyy:
-
“Kenen kanssa KENELLÄ TAHANSA on sama syntymäpäivä?”
Nämä ovat täysin eri todennäköisyyksiä.
2. Heikko kyky hahmottaa suuria määriä
Ihmiset aliarvioivat ryhmäkoon vaikutuksen.
23 kuulostaa pieneltä.
Mutta parien määrä (253) kuulostaa isolta — ja sitä se myös on.
3. Intuition ja todellisuuden ristiriita
Tämä paradoksi muistuttaa meitä siitä, että:
Todennäköisyys ei ole tunne. Se on matematiikkaa.
Intuitiomme on hyvä niin kauan kuin ongelmat ovat pieniä ja arjessa näkyviä. Mutta kun siirrymme isoihin joukkoihin, intuitio alkaa pettää — ja joskus todella pahasti.
Syntymäpäiväparadoksin outo laajennus: hashfunktiot ja tietoturva
Syntymäpäiväongelma ei ole vain hauska temppu.
Sillä on valtava merkitys:
-
salauksessa
-
tietoturvassa
-
hashfunktioissa
-
kryptografiassa
-
kryptovaluutoissa
-
salasanasuojauksessa
Tietotekniikassa syntymäpäiväparadoksi selittää, miksi random-törmäykset hashfunktioissa tapahtuvat paljon useammin kuin intuitio antaisi ymmärtää.
Tämä on yksi syy siihen, miksi tietoturvassa puhutaan “syntymäpäivähyökkäyksistä”.
Matematiikka ei siis ole vain teoriaa – se on arkea.
Filosofinen taso: mitä syntymäpäiväparadoksi kertoo sattumasta?
Kaikki paradoksit pakottavat meidät katsomaan maailmaa uusista kulmista.
Syntymäpäiväongelma kertoo:
-
maailman on paljon sattumanvaraisempi kuin tunnemme
-
universumi on täynnä todennäköisyyksien yllättäviä kaaria
-
epätodennäköinen ≠ mahdoton
-
pienet järjestelmät yllättävät
-
intuitio ei yksinään ole tietoa
Se paljastaa myös, miksi ihmiset näkevät “merkityksiä”:
Jos kahdella ihmisellä on sama syntymäpäivä, kuulemme:
“Vau, mikä sattuma!”
Mutta matematiikka kuiskaa:
“Ei se mikään sattuma ollut.”
Loppupohdinta
Syntymäpäiväongelma ei ole vain numeroleikki.
Se on ikkuna siihen, miten ajattelemme – ja miten usein ajattelemme väärin.
Se näyttää:
-
miksi intuitio pettää
-
miten data vääristyy ajattelussamme
-
miten todellisuus voi olla epäintuitiivinen
-
miten todennäköisyydet toimivat
-
miten hämmästyttävän isoja pienet luvut voivat olla
Se muistuttaa:
Maailma ei ole sitä, miltä se näyttää.
Se on paljon kiinnostavampi.
